พีชคณิตนามธรรม
พีชคณิตนามธรรมศึกษาโครงสร้างและการดำเนินการ เช่น กรุป ริง และฟิลด์ เพื่อเผยรูปแบบที่อยู่เบื้องหลังสมมาตร สมการ และระบบจำนวน
พีชคณิตนามธรรมศึกษาอะไร
พีชคณิตนามธรรมศึกษารูปแบบในการดำเนินการ แทนที่จะมุ่งเฉพาะเลขคณิตที่คุ้นเคย สาขานี้ถามว่าการดำเนินการหนึ่งทำตามกฎใด และกฎเหล่านั้นสร้างโครงสร้างแบบใด วิธีคิดนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์เปรียบเทียบระบบจำนวน สมมาตร เมทริกซ์ พหุนาม และการแปลงได้ด้วยภาษาร่วมกัน
การดำเนินการและโครงสร้าง
โครงสร้างพีชคณิตมักเริ่มจากชุดหนึ่งและการดำเนินการหนึ่งหรือหลายอย่างบนสมาชิกของชุดนั้น คำถามสำคัญไม่ใช่แค่ว่าสมาชิกคืออะไร แต่สมาชิกเหล่านั้นรวมกันอย่างไร กฎอย่างการปิด การเปลี่ยนหมู่ เอกลักษณ์ อินเวอร์ส และการแจกแจง เป็นตัวกำหนดชนิดของโครงสร้างที่กำลังศึกษา
กรุป
กรุปคือชุดที่มีการดำเนินการหนึ่งอย่างซึ่งเป็นไปตามการปิด การเปลี่ยนหมู่ มีสมาชิกเอกลักษณ์ และมีอินเวอร์ส กรุปใช้อธิบายสมมาตร เช่น การหมุนรูปหลายเหลี่ยม การเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ การเดินหมากของปริศนา หรือการแปลงที่รักษารูปร่าง ทฤษฎีกรุปทำให้สมมาตรกลายเป็นสิ่งที่คำนวณและพิสูจน์ได้
ริงและฟิลด์
ริงมีการดำเนินการสองอย่างที่ทำตัวคล้ายการบวกและการคูณ แม้จะไม่เหมือนจำนวนปกติเสมอไป ฟิลด์คือริงที่สมาชิกไม่เป็นศูนย์ทุกตัวมีอินเวอร์สการคูณ จึงทำให้หารได้ จำนวนเต็มเป็นริง จำนวนตรรกยะเป็นฟิลด์ และฟิลด์จำกัดมีความสำคัญในทฤษฎีรหัสและวิทยาการเข้ารหัส
โฮโมมอร์ฟิซึมและไอโซมอร์ฟิซึม
โฮโมมอร์ฟิซึมคือแผนที่ระหว่างวัตถุพีชคณิตที่รักษาโครงสร้างไว้ มันแปลโครงสร้างหนึ่งไปสู่อีกโครงสร้างหนึ่งโดยเคารพการดำเนินการ ไอโซมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่ย้อนกลับได้ แสดงว่าโครงสร้างสองอย่างเหมือนกันในมุมมองพีชคณิต แม้สมาชิกจะดูต่างกัน
พหุนามและสมการ
พีชคณิตนามธรรมให้เครื่องมือทรงพลังสำหรับศึกษาสมการพหุนาม ส่วนขยายของฟิลด์ ไอดีล และทฤษฎีกาลัวส์อธิบายว่าทำไมสมการบางชนิดแก้ด้วยรากได้ แต่บางชนิดทำไม่ได้ สาขานี้เปลี่ยนการแก้สมการจากชุดเทคนิคเฉพาะหน้าให้เป็นทฤษฎีเชิงโครงสร้างเกี่ยวกับการดำเนินการและสมมาตร
การประยุกต์
พีชคณิตนามธรรมปรากฏในระบบใช้งานจริงเมื่อโครงสร้างมีความสำคัญ รหัสแก้ความผิดพลาดใช้ฟิลด์จำกัด วิทยาการเข้ารหัสกุญแจสาธารณะใช้กรุปและริง ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์จัดการโครงสร้างเชิงสัญลักษณ์ และฟิสิกส์ใช้กรุปสมมาตรเพื่ออธิบายกฎอนุรักษ์และพฤติกรรมของอนุภาค
ทำไมจึงสำคัญ
พีชคณิตนามธรรมสำคัญเพราะเผยโครงสร้างร่วมที่อยู่เบื้องหลังปัญหาซึ่งดูไม่เกี่ยวข้องกัน แนวคิดเดียวกันสามารถอธิบายเลขคณิต สมมาตร สมการ การแปลง และการสื่อสารที่ปลอดภัยได้ นอกจากนี้ยังฝึกนิสัยที่มีประโยชน์ คือมองให้พ้นวัตถุที่เห็น แล้วถามว่าการดำเนินการและกฎใดจัดระเบียบวัตถุเหล่านั้น